Можно ли записать число, для которого не хватит всех атомов во Вселенной? В принципе – да: достаточно придумать короткое обозначение. Но если потребовать выписать каждую десятичную цифру, даже лист бумаги размером с галактику не поможет. В этом рейтинге числа расположены примерно от меньшего к большему; некоторые из них важны для математических задач, а некоторые показывают, насколько далеко может увести точное определение.
Слово «невозможно» здесь означает «невозможно физически развернуть полную запись», а не математически неопределимо. Все пять участников конечны. Их можно назвать короткой формулой, хотя сама формула и есть единственный практичный способ с ними обращаться.
| Место | Число | Откуда оно взялось |
|---|---|---|
| 5 | Гуголплекс | Степень десяти с гуголом нулей |
| 4 | Первое число Скьюза | Верхняя граница для неожиданного пересечения функций о простых |
| 3 | Число Грэма | Знаменитая граница из задачи комбинаторики |
| 2 | TREE(3) | Максимальная длина особой последовательности деревьев |
| 1 | Число Райо | Число, заданное ограничением на длину математического определения |
5. Гуголплекс
Гугол – это единица со ста нулями, то есть 10¹⁰⁰. Гуголплекс равен десяти в степени гугол: единица, после которой должно идти 10¹⁰⁰ нулей. Формула короткая, а десятичная запись невероятно длинная.
Чтобы оценить разницу, представьте, что каждая цифра занимает отдельное место. Число цифр в гуголплексе превосходит любые разумные оценки количества частиц в наблюдаемой Вселенной. Невозможно даже выделить материальный носитель для такой записи: проблема не в том, что мы ещё не придумали достаточно длинную книгу, а в том, что сама Вселенная не располагает нужным числом атомов.
Гуголплекс при этом не связан с особой физической загадкой. Он полезен как понятный порог: число легко определить и почти невозможно представить через привычное перечисление цифр. Следующие участники уже появляются из более конкретных математических вопросов.
4. Первое число Скьюза
В начале XX века математики изучали, как количество простых чисел до заданного числа сравнивается с логарифмическим интегралом. Долгое время приближение выглядело так, будто оно всегда оказывается выше точного счёта. Джон Литлвуд доказал, что разность всё-таки меняет знак бесконечно много раз. Стэнли Скьюз дал верхнюю оценку тому, где должно произойти одно из таких пересечений.
Знаменитая ранняя оценка при условии гипотезы Римана имела вид примерно 10^(10^(10^34)). Это не «точка, где простые числа внезапно заканчиваются» и не точное место первого пересечения: речь об исторической верхней границе в доказательстве. Позднее оценку существенно уменьшили, поэтому старое число интересно прежде всего как памятник ранним оценкам.
Оно больше гуголплекса из-за дополнительных уровней степеней. В отличие от абстрактного гуголплекса, число Скьюза привязано к реальному вопросу о распределении простых чисел – хотя исходный масштаб оказался намного выше того, что потребовалось последующим исследованиям.
3. Число Грэма
Рональд Грэм ввёл это число как верхнюю границу в задаче из теории Рамсея, где ищут неизбежные закономерности в раскрашенных конфигурациях. Его значение задаётся не длинной привычной формулой, а повторяющимся применением стрелочной нотации Кнута. Каждый новый шаг делает операции на предыдущем шаге аргументами следующего, и такая конструкция быстро выходит за пределы обычной степенной записи.
Число Грэма часто ошибочно называют самым большим числом, когда-либо появлявшимся в математике. Это неверно: математик может определить число ещё крупнее, а TREE(3) превосходит его на несравнимом масштабе. Но число Грэма запомнилось потому, что оно возникло в настоящей доказательной задаче, а не только в соревновании по придумыванию рекордных обозначений.
Его можно описать компактной рекурсивной схемой, но нельзя представить полным списком цифр. Даже число знаков в степени, стоящей в его обычном десятичном представлении, уже невозможно записать физически. Именно поэтому математическая нотация здесь не украшение, а единственная рабочая форма числа.
2. TREE(3)
TREE(3) возникает из задачи о последовательностях конечных укоренённых деревьев, вершины которых раскрашены в три цвета. Условия запрещают, чтобы одно дерево можно было вложить в более позднее с сохранением структуры и цветов. Теорема Крускала гарантирует: последовательность, соблюдающая запрет, не может продолжаться бесконечно. TREE(3) обозначает максимально возможную длину такой последовательности.
При одном цвете предел ничтожен, при двух он уже становится заметно сложнее. Переход к трём цветам вызывает огромный скачок: TREE(3) намного больше числа Грэма. Это не просто упражнение в записи степеней – величина отражает силу конечной комбинаторной теоремы и сложность доказательства того, что запрещённая бесконечная цепочка невозможна.
Число конечно, потому что теорема гарантирует конечный предел, но его десятичная запись не поддаётся физическому разворачиванию. Само обозначение TREE(3) выглядит обманчиво коротким: за ним стоит точная комбинаторная задача, а не произвольный набор стрелок.
1. Число Райо
В 2007 году философы Агустин Райо и Адам Элга устроили в Массачусетском технологическом институте состязание на определение большого числа. Райо описал число через формулы теории множеств: оно должно превосходить любое конечное число, которое можно однозначно задать формулой ограниченной длины – в популярном изложении речь идёт о гуголе символов.
Это не просто «написать TREE(3) и прибавить единицу»: формальное определение ограничивает язык, длину описания и то, как формула задаёт единственное число. В такой постановке число Райо оказывается больше TREE(3), поскольку краткое определение TREE(3) укладывается в ограничение языка. При этом обсуждение требует аккуратности: упрощённые пересказы часто опускают важные детали формального языка и условий определения.
В рейтинге оно первое не из-за рекорда на бумаге, а потому что использует саму возможность описывать числа как часть определения. Парадоксально, но сверхкороткая фраза может определить число, которое нельзя выписать целиком даже во Вселенной, заполненной цифрами. В таких примерах математики сравнивают не воображаемые стопки нулей, а точность и силу способов задания числа.